http://politecnica.universidadeuropea.es/

http://biomedicas.universidadeuropea.es/

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Aquí os dejo un vídeo que explica detenidamente la resolución de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss.

Riddle

Here you have a riddle for resolve



A pastor has to pass a goat, a wolf and a lettuce to the other side of the river. It has a boat in which he and only fit one of the other three. If the wolf is left alone with the goat, the eolf eats the goat. If the goat is left alone with lettuce, the goat eats the lettuce. How should you do it?

Entrevista a Juan Florencio Beltrán Bisbal

Entrevista a 

Juan Florencio Beltrán Bisbal

¿Dónde trabaja actualmente?

Trabajo en el BBVA desde hace ya 30 años.

¿Utiliza las matemáticas diariamente en su trabajo?

En nuestra actividad la usamos continuamente, a través de hojas de cálculo, pero también en la estadística, con el desarrollo de modelos de clasificación de carteras o scores de comportamiento.

Sin embargo, usted estudió química, que no tiene nada que ver con su trabajo. ¿Por qué decidió estudiar química?

En el instituto era la materia que más me gustaba, y me decanté por esa carrera y, posteriormente, me especialicé en química orgánica.

¿Fueron importantes las matemáticas durante su carrera?

Las matemáticas son fundamentales en cualquier carrera de ciencias. En nuestro caso, la tuvimos durante el primer año de carrera.

Yo escogí en COU como optativas Química, Física y Biología, y tuve que dar matemáticas especiales durante el verano.

¿Cree que se le da la importancia necesaria a las matemáticas durante los estudios?

En mi opinión sí. Siempre ha sido una de las materias fundamentales en las ramas técnicas.

Por último, ¿piensa que deberían impartirse en un mayor numero de grados?

Creo que actualmente se encuentran bien representadas en las carreras que lo ameritan.

Rango de una matriz

En esta entrada voy a explicar fácilmente el rango de una matriz.

Diremos que un conjunto de vectores son linealmente dependiente (l.d.) si uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás.

Diremos que un conjunto de vectores son linealmente independientes (l.i.) si ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás.

- Dada una matriz A de orden mxn (m filas x n columnas), llamaremos rango de la matriz A al número de filas linealmente independientes de A.

En toda matriz el número de filas y el número de columnas linealmente independientes coinciden.

Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada es distinto de 0 si, y solo si, todas sus filas son linealmente independientes. De esta propiedad deducimos otra definición de rango:

- El rango de una matriz A de orden mxn es el máximo orden de sus menores no nulos. Es decir, el máximo orden del determinante no nulo de esa matriz A, es el rango de esa matriz.



Aquí os dejo el enlace a una página de cálculo de matrices que os podrá servir de ayuda: 
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html

Posiciones relativas de rectas y planos

En esta entrada voy a explicar cómo averiguar las posiciones relativas entre rectas y planos.

Posición relativa de dos planos:

Tenemos dos planos:

- A: ax + by + cz + d = 0

- B: a'x + b'y + c'z + d' = 0

El primer paso es mirar el rango de la matriz normal y la matriz ampliada que forman los dos planos.

Al no formar una matriz cuadrada de 3x3, si no de 2x3, el máximo rango que va a poder tener esa matriz es de 2, menor que el número de incógnitas (3), por lo que nunca va a ser un sistema compatible determinado (S.C.D.)

Una vez hemos mirado los rangos de la matriz normal y la matriz ampliada tenemos tres posibilidades:

1. El rango de la matriz normal (M) es igual al rango de la matriz ampliada (M*), que es igual al máximo rango posible (2). Es un sistema compatible indeterminado (S.C.I.) y significa que los dos planos se CORTAN en una RECTA.

                      rg(M)=rg(M*)=2<n

2. El rango de la matriz normal (M) es igual a 1 y es diferente que el rango de la matriz ampliada (M*), que es 2. Es un sistema incompatible y significa que los planos son PARALELOS.

3. El rango de la matriz normal (M) es igual que el rango de la matriz ampliada (M*), que es igual a 1. Esto significa que los dos planos son COINCIDENTES.

                      rg(M)=rg(M*)=1<n

Posición relativa entre una recta y un plano:

Tenemos una recta dada por un punto P(P1,P2,P3) y por el vector dirección de la recta d(d1,d2,d3); y un plano A: ax+by+cz+d=0.

Se puede hallar de dos maneras:

Caso 1:

El vector normal del plano, dado por las coordenadas (a,b,c) es perpendicular al vector director de la recta d(d1,d2,d3). Entonces, o la recta y el plano son PARALELOS o son COINCIDENTES. 

Para hallar si son paralelos o coincidentes cogemos un punto de la recta y comprobamos si pertenece al plano.

- Si el punto P pertenece al plano, la recta y el plano son COINCIDENTES.

- Si el punto P no pertenece al plano, entonces son PARALELOS.

Caso 2:

El vector normal del plano n(a,b,c) no es perpendicular al vector director de la recta d(d1,d2,d3). Entonces, la recta y el plano se CORTAN en un punto.

Para hallar ese punto de corte sustituimos en la ecuación del plano las ecuaciones paramétricas de la recta. Esto dará un valor del parámetro que, al sustituirlo, nos dará las coordenadas del punto de corte.

Posición relativa de tres planos:

Tenemos tres planos:

A: ax + by + cz + d = 0

B: a'x + b'y + c'z + d' = 0

C: a''x + b''y + c''z + d'' = 0

Hallamos el rango de la matriz normal y la matriz ampliada formada por los tres planos. Una vez hallado, tenemos 5 posibilidades:

Caso 1:

El rango de la matriz normal (M) es igual al rango de la matriz ampliada (M*) y es igual a 3, que es el número de incógnitas, entonces, el sistema es compatible determinado, lo que significa que los tres planos se CORTAN EN UN PUNTO.

   rg(M)=rg(M*)=3=n ----> S.C.D. -----> SE CORTAN EN UN PUNTO

Caso 2:

El rango de la matriz normal (M) es igual a 2, diferente del rango de la matriz ampliada (M*), que es igual a 3. Por tanto, el sistema es incompatible, lo que puede implicar dos cosas:

- Que los planos se CORTEN 2 A 2. Cada dos planos se cortan en una recta (formando una tienda de campaña)

- Que dos planos sean PARALELOS y el tercero CORTE a ambos en una recta.

Caso 3:

El rango de la matriz normal (M) es igual que el rango de la matriz ampliada (M*), que es igual a 2, menor que el número de incógnitas. 

            rg(M)=rg(M*)=2<n -----> S.C.I.

En este caso pueden ocurrir dos cosas:

- Que los tres planos se CORTEN en una recta.

- Que DOS planos COINCIDAN y el otro CORTE a ambos en una recta.

Caso 4:

El rango de la matriz normal (M) es igual a 1, diferente del rango de la matriz ampliada (M*), que es igual a 2. Entonces, el sistema es incompatible y pueden ocurrir dos cosas:

- Que los tres planos sean PARALELOS.

- Que DOS planos COINCIDAN y el tercero sea PARALELO.

Caso 5:

El rango de la matriz normal (M) es igual que el rango de la matriz ampliada (M*), que es igual a 1, menor que el número de incógnitas.

             rg(M)=rg(M*)=1<n ------> S.C.I.

En este caso, los tres planos COINCIDEN.

Presentación

Este es un blog creado como un trabajo, aunque intentaré facilitar algunos recursos matemáticos para facilitar el estudio de esta materia.