Posición relativa de dos planos:
Tenemos dos planos:
- A: ax + by + cz + d = 0
- B: a'x + b'y + c'z + d' = 0
El primer paso es mirar el rango de la matriz normal y la matriz ampliada que forman los dos planos.
Al no formar una matriz cuadrada de 3x3, si no de 2x3, el máximo rango que va a poder tener esa matriz es de 2, menor que el número de incógnitas (3), por lo que nunca va a ser un sistema compatible determinado (S.C.D.)
Una vez hemos mirado los rangos de la matriz normal y la matriz ampliada tenemos tres posibilidades:
1. El rango de la matriz normal (M) es igual al rango de la matriz ampliada (M*), que es igual al máximo rango posible (2). Es un sistema compatible indeterminado (S.C.I.) y significa que los dos planos se CORTAN en una RECTA.
rg(M)=rg(M*)=2<n
2. El rango de la matriz normal (M) es igual a 1 y es diferente que el rango de la matriz ampliada (M*), que es 2. Es un sistema incompatible y significa que los planos son PARALELOS.
3. El rango de la matriz normal (M) es igual que el rango de la matriz ampliada (M*), que es igual a 1. Esto significa que los dos planos son COINCIDENTES.
rg(M)=rg(M*)=1<n
Posición relativa entre una recta y un plano:
Tenemos una recta dada por un punto P(P1,P2,P3) y por el vector dirección de la recta d(d1,d2,d3); y un plano A: ax+by+cz+d=0.
Se puede hallar de dos maneras:
Caso 1:
El vector normal del plano, dado por las coordenadas (a,b,c) es perpendicular al vector director de la recta d(d1,d2,d3). Entonces, o la recta y el plano son PARALELOS o son COINCIDENTES.
Para hallar si son paralelos o coincidentes cogemos un punto de la recta y comprobamos si pertenece al plano.
- Si el punto P pertenece al plano, la recta y el plano son COINCIDENTES.
- Si el punto P no pertenece al plano, entonces son PARALELOS.
Caso 2:
El vector normal del plano n(a,b,c) no es perpendicular al vector director de la recta d(d1,d2,d3). Entonces, la recta y el plano se CORTAN en un punto.
Para hallar ese punto de corte sustituimos en la ecuación del plano las ecuaciones paramétricas de la recta. Esto dará un valor del parámetro que, al sustituirlo, nos dará las coordenadas del punto de corte.
Posición relativa de tres planos:
Tenemos tres planos:
A: ax + by + cz + d = 0
B: a'x + b'y + c'z + d' = 0
C: a''x + b''y + c''z + d'' = 0
Hallamos el rango de la matriz normal y la matriz ampliada formada por los tres planos. Una vez hallado, tenemos 5 posibilidades:
Caso 1:
El rango de la matriz normal (M) es igual al rango de la matriz ampliada (M*) y es igual a 3, que es el número de incógnitas, entonces, el sistema es compatible determinado, lo que significa que los tres planos se CORTAN EN UN PUNTO.
rg(M)=rg(M*)=3=n ----> S.C.D. -----> SE CORTAN EN UN PUNTO
Caso 2:
El rango de la matriz normal (M) es igual a 2, diferente del rango de la matriz ampliada (M*), que es igual a 3. Por tanto, el sistema es incompatible, lo que puede implicar dos cosas:
- Que los planos se CORTEN 2 A 2. Cada dos planos se cortan en una recta (formando una tienda de campaña)
- Que dos planos sean PARALELOS y el tercero CORTE a ambos en una recta.
Caso 3:
El rango de la matriz normal (M) es igual que el rango de la matriz ampliada (M*), que es igual a 2, menor que el número de incógnitas.
rg(M)=rg(M*)=2<n -----> S.C.I.
En este caso pueden ocurrir dos cosas:
- Que los tres planos se CORTEN en una recta.
- Que DOS planos COINCIDAN y el otro CORTE a ambos en una recta.
Caso 4:
El rango de la matriz normal (M) es igual a 1, diferente del rango de la matriz ampliada (M*), que es igual a 2. Entonces, el sistema es incompatible y pueden ocurrir dos cosas:
- Que los tres planos sean PARALELOS.
- Que DOS planos COINCIDAN y el tercero sea PARALELO.
Caso 5:
El rango de la matriz normal (M) es igual que el rango de la matriz ampliada (M*), que es igual a 1, menor que el número de incógnitas.
rg(M)=rg(M*)=1<n ------> S.C.I.
En este caso, los tres planos COINCIDEN.
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